Разлагането на номера в отлично фактори, математика, алгебра, геометрия

§ 90. Прости и съставни числа. Всеки брой, разбира се, разделени от един и себе си. Има много на брой, които са разделени не само по една и от само себе си, но все пак са други разделители; например, номер 30, и в допълнение на устройството 30 е все още разделители 2, 3, 5, 6, и 15.

Всеки брой, различна от тази, която се дели само от един и себе си, е проста (или абсолютно прост или оригинал).

Номер, който е разделен не само от един и само по себе си, но и на други числа, се нарича съединение (или комплекс).

Номер 1 не счита нито прост, нито композитен номер, той заема особено положение.

Има 25 прости числа по-малко от 100, а именно:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

В края на книгата е приложен таблица, в която са написани всички прости числа по-малко от 6000.

§ 91. Разширяване на съставно число в основните фактори. Всеки номер на съединение може да бъде разложен на основните фактори г. Е. това присъства като продукт на прости числа. Например, разлагат в основните фактори на 12 - това означава да представи този номер, както следва: 12 = 2 · 2 · 3.

Да предположим, че искате да се разпространи извън основните фактори на всяко съставно число, като например 420. За тази цел, ние откриваме (въз основа на делимост), най-малкият брой премиер, който разделя 420; това число е 2. Разделете 420 от 2:

Сега ние търсим най-малкият брой премиер, който разделя композитен номер 210; това число е 2. Разделете 210 от 2:

Замяна в уравнение (1), броят 210 е равна на произведението от:

420 = 105 · 2 · 2 (2)

Най-малкият брой премиер, който разделя съединение номер 105, 105 е 3. Divide 3:

Замяна в уравнение (2) Броят 105 равна на произведението от:

420 = 35 · 3 · 2 · 2 (3)

Най-малкият брой премиер, който разделя композитен номер 35, има 5; разделяне 35 от 5, ние откриваме, 7; означава 35 = 7 · 5 Чрез заместване на уравнение (3) брой 35 равна на произведението от 7 · 5, ние получаваме:

420 = 7 · 5 · 3 · 2 · 2.

Това ще е необходимо разширяване, защото сега всички фактори - броят на обикновен.

Тъй като продуктът не е засегната от преместването на факторите, че е възможно да ги запишете в произволен ред; обикновено ги пишат от ниска към висока, т.е. както следва:

420 = 2 · 2 · 1 · 5 · 7.

Председател на множители е най-удобно да пиша това:

т.е. пиша това съставно число и извършва правото на вертикалната линия. Още от таблото сложи най-малкият брой премиер, който разделя дадено съединение, и тя е разделена на определен брой. Частни номера подписват под дивидент. С това специално да действа по същия начин като с даден брой. Действието продължава толкова дълго, колкото специално звено няма да работи. След това всички числа, изправени пред правото на линията, ще са главни фактори на номера.

В този пример, всеки път, когато търсите най-прост делител получи номер; Най-често това е - най-удобният начин за разширяване, защото толкова по-малко,

по-лесно е да го споделя; В допълнение, има прости признаци на делимост на повечето малки разделители. Въпреки това, този път не е задължително, а е често основните фактори могат BT-лесно се направи още един ред. Така че, в нашия пример, ние ще видим, че и веднага 420 делено на 10 = 2 · 5. Ето защо, от разширяването (в ума)

можем да запишем

420 = 10 · 42 = 2 · 5 · 2 · 3 · 7 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7

Ако искате да се, например, до фактора, броят 13 000, ние можем веднага да видите, че 13 000 = 13 · 1000, а от 13-ти брой премиер, а след това се разлага на основните фактори на броя

1000 = 10 х 10 х 10 = 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5

и ние веднага се получи:

13 000 = 2 х 2 х 2 х 5 х 5 х 5 х 13.

Да вземем друг пример. Ние се разгради до основните фактори, 8874:

Достигането до 493 частни, ни е трудно да се вземе решение за какво число се дели. В такива случаи, достъп до таблицата на простите числа (в края на тази книга). Ако тя отговаря на определен брой, сложи ни в затруднение, тя се дели само по себе си. Броят 493 не е в таблицата на простите числа; Следователно, това е съставно число, така че ние се опитваме да я разделят на прости числа 7, 11, 13 и т.н., докато, докато не достигнем НЧ делене без остатък ... Оказва се, че 493 се дели на 17, и по-специално се обръща 29. Сега можем да завършим разширяването.

Този пример показва, че понякога е много трудно да изпълни разлагане на съединението, тъй като разширяването може да се срещне с голям брой от които е трудно да се определи дали е проста или композитен; и ако това е композитен, това не винаги е лесно да го прави малко прост делител намери.

§ 92. степенуване. Когато номера разпадане факторинг, както и в много други случаи, ние често пишат няколко последователни идентични фактори, като например 2 × 2 × 2 × 2 или 5 × 5 × 5. Точно както за добавяне на равни условия, ние въведохме специално име (умножение) и специално предназначение (2 х 4 вместо 2 + 2 + 2 + 2), и за умножаване равни фактори е полезно да се въведе специално име и специално предназначение.

Продуктът се нарича степен идентични фактори. По този начин, на 2 · 2 · 2 · 2 има 2 до четвъртата власт. Писано е по този начин:

2 · 2 · 2 · 2 = 04 февруари

докато броят 2 е базовата точка и броя на 4 - експонента. Най-действието се нарича изграждането на номер 2 в четвърта степен. По същия начин,

Той гласи: 5 в трета степен; тук 5 - база и 3 - степенен показател.

Втора степен съкратено като квадрата на основата, и трета степен - на това куб. Така че, на 2 юли чете "7 в полето", и 5 Март - ". 5 в куб" Първата власт на броя нарича себе си 3 1 = 3. С помощта на нотацията, въведени от разлагане на числата в основните фактори, често могат да бъдат записвани е по-кратък; Така че, в обсъжданите в § 91 примери, можем да запишем:

420 = 2 3 х 2 х 5 х 7
13 000 = 2 3 '5 3 х 13.

Понякога, като това намаление може да бъде много забележим; например, 1536 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 2 9 х 3.

§ 93. Композитен брой може да се разшири само в няколко прости фактори. Лесно е да се докаже, че методът, описан в § 91 п. 6, на произволен брой композитен могат да се разделят на основните фактори. Но използването на този метод, можем да не е задължително да се придържаме към поръчката, която е посочена от нас, т.е. можем да започнем разлагането не е с най-малък брой премиер, с който да се разделят на композитния материал и производство на експанзия в някоя друга последователност (или дори може, както видяхме, да се разпространява композитен брой първи на съставните фактори, тогава тези фактори са разпределени в прост) , Така възниква въпросът: не може да стигнем до там, понякога в продължение на една и съща композиция на две (или повече) различен брой председатели фактори, които се различават един от друг или от факторите, или на броя на повторения на същите фактори? Например, броят 14000 има разширение 02 Април х 5 3 х 7; дали не може да има още едно разлагане, което включваше ще бъде друг основен фактор, различен от 2, 5 и 7, или в които тези фактори ще бъдат повторени някои други пъти, колкото в разширяването на 2 4 × 5, 3 × 7? Доказано е, че това не може да бъде, т. Е. Това съставния номер, като, ако не се разгражда, като само един номер на основните фактори (които, разбира се, може да бъде perestavlyaemy).

Доказателството за възможностите и уникалността на разлагането на номера в основните фактори. За да докаже, че стриктно всеки номер (с изключение на един) може да се разложи в един и само един начин в основните фактори, док> Кой е първият следното две теореми.

Теорема 1. Всеки брой, различна от единица има поне един основен фактор.

Доказателство. Нека ≠ 1; ако един - просто число, то тя самата е неговата прост делител, а доказателството; ако - броят на композита, има делители различен от и от единица; нека б е най-малката от тези разделители; тогава В не може да бъде съставно число, както ако беше разделен на броя на с, различни от единиците и от само себе си, а след това е броя на В ще бъде разделена и броя на, и следователно, б не би било най-малката делител на , Ето защо, б - брой на проста, но тъй като е делител на, теоремата е доказана.

Теорема 2. Продуктът от няколко фактора a1 a2 a3. един се дели на основен р само когато най-малко един от факторите е неделими от стр.

Доказателство. (. A2 a3 един): Като се има предвид тази работа като произведение на два фактора само a1 и, може да се твърди, както следва: ако a1 не се дели на основен р, това означава, че a1 е не р общи делители, различни от единство; в такъв случай, доказани в редица § 88 Теорема (а2 а3. с) трябва да се дели на стр. По същия начин, ние виждаме, че ако a2 не се дели на р, тогава броят на (a3 a4. An), трябва да се дели на стр. Продължавайки този аргумент по-нататък, ние откриваме, че ако нито една от цифрите: А1. А2. a3. ..., с-1 не се дели на р, след това се дели на стр. Така че, някои от цифрите: А1. А2. a3. ..., един е неделими от стр.

Сега, за да се докаже възможността за разширяване на произволен брой е различен от един, от основните фактори, за да го направят. Нека ≠ 1; ако един - просто число, тогава доказателството; ако - брой на съединение с теорема 1, тя има прост делител p1; нека

ако a1 - просто число, а след това на теоремата се доказва; ако е композитен, Теорема 1, той има основен фактор p2; нека

ако A2 - просто число, а след това на теоремата се доказва; ако е композитен, ние продължаваме да се говори по този начин. Тъй като> a1. .. A1> a2 и т.н., че нашата експанзия трябва да приключи рано или късно; но тя може да приключи само когато някой номер да бъде лесна (ако е композитен, тогава ще можем да продължим разлагането); така разлагане

е разлагането на в основните фактори, възможността този начин се доказва.

За да докаже уникалността на разширяването ще говори по този начин:

Да предположим, че за някои имаме два на разлагане (еднакви или различни) председатели фактора:

В лявата част на това уравнение е разделен на; Ето защо, от дясната страна трябва да се дели с. Но - просто число, така че b1 c1 продукта А1. само след това разделен на, където един от неговите фактори се разделя на (теорема 2); но просто число могат да бъдат разделени в различни просто число се различава от устройството само когато прости числа са еднакви. Така че, една от цифрите: a1 b1 c1. Тя е равна на една. Нека a1 = а. Разделяйки двете страни с, получаваме

Подобно на предишното, ние виждаме, че един от факторите, В1. С1. е равна на В. Нека b1 = б; след това CD. = С1 d1. Продължавайки този аргумент трябва да се види, че всички фактори на първия ред са включени и във втория ред. Разделяйки двете страни от a1 ние виждаме, че в първия ред има мултиплициращ А1. По този начин, като предходната, ние откриваме, че всички фактори на втория ред са на първия ред. От това следва, че тези двете серии могат да се различават само по реда на фактори, а не от факторите, с други думи, че двете серии са един и същи ред. С други думи, всеки номер (с изключение на един) може да бъде разложен на председател фактори па и, освен това, само по един начин.

§ 94. Част от информацията за простите числа. Лесно е да се види, че има безкраен брой прости числа. Наистина, предположи обратното, т.е.. Е. Това прости числа е ограничен. В този случай, най-големият брой премиер трябва да съществува. Нека този брой да бъде. За да отхвърли предположението, направени си представим нов номер N, съставен съгласно формулата:

N = (2 · 3 · 5 · 7 ... а) + 1,

т. е. да си представим номер N, който се получава чрез многократно всички прости числа от 2 до и включително продукт и да се прикрепят друга единица. Тъй като N, очевидно по-скоро, и, от предположение, е най-големият от простите числа, а след това N трябва да бъде неразделна номер. Но съставно число се дели на просто число (§ 93, Теорема 1). Следователно, N е разделен на няколко серия 2, 3, 5, 7, 11.. Но това не може да бъде, тъй като N е сумата на две условия, първата от които (продукта 2 · 3 · 5 ... а) е разделена на произволен брой серия 2, 3, 5., а второто (1) не се дели на един от тези номера. Това означава, че най-голямото просто число не съществува; ако не и най-голямото просто число, броят на простите числа е безкраен.

От древни времена, най-простите числа са били обект на множество изследвания. Между другото, учените са се опитали да намерят закон изготвяне на простите числа, които да имат възможност да изразят всички прости числа с една или повече формули, или се опитват да намерят най-малко следната формула, която макар и не изразява всички прости числа, а да се оставят да се намери произволно голям председател номер. В този смисъл особено интересно опит за известния френски математик от XVII век. Farm (Ферма). Той открива, че формулата дава 2n + 1 прости числа, когато п е 2 0 = 1 2 1 = 2, 2 2 = 4, 2 3 = 8. В действителност, когато тези стойности на индекса и се получава чрез следните прости числа:

Въз основа на това наблюдение (и някои съображения относно свойствата на номера), Ферма предполага, че формулата 2 N + 1, трябва да се даде на прости числа за всяко N, равни на мощност 2. На това мнение са от дълго време не е била опровергана, тъй като никой не (да Ойлер) не се определят най-малко един случай, когато п, равна на мощност от 2, с формула 2 п + 1 ще даде съставно число. Първата хипотеза отхвърлено Farm известен Ойлер (XVIII инча), което доказва, че когато п = 02 май = 32 формула 2 п + 1 дава редица дели на 641. Тази грешка Farm е поучителни например, като метод, приложими математика изводи от конкретните общо (посочи метод или индукция).

(Когато п увеличава експресионни 2n + 1 дава броя увеличава с изключителна бързина, например, когато п = 24, се получава номер 65537, когато п = 2 5 - номер 4294967297. Тези големи количества е трудно да реши (ако състоянието на науката XVII и XVIII с.), но те или композитен).

За липсата на формули, изразяващи всички прости числа, създаде необходимост от емпирично (експериментално) серия от последователни прости числа от 2 до конкретна голям номер. Най-простият и все още най-старият метод на подготовка на тази серия принадлежи александрийски математик Ератостен (който е живял през III в. Пр.Хр.). метод Ератостен се състои във факта, че редица положителни цели числа от 2 до един (брой, които желаят да ограничи броя) е изключен първо дели на две (различни от 2), тогава всички номера, които са неделими от 3 (с изключение на 3). след това всички числа, кратни на 5, 7, 11 (с изключение на тези числа) и т.н. Това е много проста: .. ще издаде поредица от странни числа от 3 до, преминават в него всеки трети номер след 3, всеки пети номер след 5, 7 след всеки седми и т. г.

В момента има таблици с последователни прости числа по-малко от 9,0 милиона.

Ако не на ръка написан от няколко прости числа, или ако този номер N надхвърля най-голям брой написани от едно число, тогава възниква въпросът: как да разберете дали N е премиер или композитен номер? Най-лесният начин за това е, както следва. Намирането предварително √N, напишете всички прости числа на по-малко от този корен. Нека да е броят на:

Ако N не се разделя всеки един от тези номера, може да се твърди, без да произвежда допълнителни разцепвания, че N - брой на проста. В действителност, тъй N = √N · √N, очевидно е, че като се раздели N от числа по-големи √N, трябва да получи лично, по-малък √N; така че, ако числото N може да се раздели на произволен брой по-голяма от √N, тя ще бъде разделен и на броя на по-малки √N. Когато N е голям, след това този метод може да бъде доста досадно; така че, ако N> 1 милион че √N> 1000, и има 108 прости числа по-малко от 1000; Ето защо, този тест номер ще бъде необходимо от време на време до 168 дивизии. В теорията на числата посочват методи, чрез които е възможно да се намали значително броя на деленията, необходимостта от изпитване на определен брой; но в същото време все още е въпросът за определяне на това дали дадено число е премиер или композитен, понякога е досега огромни трудности.