Площта на криволинеен трапец
Да предположим, че функцията е неотрицателно и непрекъснато на интервала. След това, в зависимост от геометричната смисъла на определен интеграл, областта на криволинейна трапец, ограничена от горната графиката на функцията, от дъното - ос. ляво и дясно - и права (виж фигура 2 ..) се изчислява по формулата
Пример 9. Find площ от фигурата, ограничена от линията и оста.
Решение. Графиката на функцията е парабола чиито клонове са насочени надолу. Ние конструкт (фиг. 3). За определяне на границите на интеграцията, ние откриваме в точката на пресичане на линия (парабола) с ос (права линия). За да направите това, ние се реши системата уравнения
Ние се получи. къде. ; Ето защо. ,
Квадратни форми от формула (5):
Ако функцията не е положителна и непрекъснато върху интервала. областта на криволинейна трапец, ограничена под графиката на функцията горе - ос. наляво и надясно - и прав. Тя се изчислява по формулата
(. Фигура 4) Ако функцията е непрекъсната върху интервала и промени влизат в краен брой точки, след областта на защрихованата фигурата е равна на сумата от алгебрични съответните определени интеграли:
Пример 10. Изчисли площ на фигурата, ограничена от оста и графиката на функцията на.
Решение. Ние правим чертежа (фиг. 5). Зоната за търсене е сумата от площади и. Нека да намерите всяка една от тези области. Първо ние определяме границите на интеграция, получаваме система на мислене. , Ето защо:
По този начин, в областта на сенчестата цифрата е
И накрая, нека криволинеен трапец, ограничена над и под графиките на непрекъснатост на сегмента и.
и лявата и дясната - и направо (фигура 6). След площ се изчислява по формулата
Пример 11. Find площ от фигурата, ограничена от линиите и.
Решение. Тази фигура е показана на Фиг. 7. изчисли размер с формула (8). Решаването на системата се намира. ; Ето защо. , На сегмент имаме. Следователно, във формулата (8), като вземем X, и като -. получаваме:
По-сложни задачи за решаване на изчисляването на площите, като се раздели на фигурата в несвързани части и изчисляване на площта на цялата фигура като сумата от площите на тези части.
Пример 12. Виж областта на фигурата, ограничена от линии. , ,
Решение. Ние правим чертежа (фиг. 8). Тази стойност може да се счита като извит трапец, ограничена от долната ос. наляво и надясно - и прав. най - графики на функциите и. От фигурата е ограничена отгоре от графиките на две функции, за да се изчисли площ разделим тази цифра направо в две части (1 - точка на пресичане на абсцисата на линията и). Площта на всяка от тези части е намерена с формула (4):
(Пл. U.); (В. U.). Ето защо: